【105的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等的三角函数值较为熟悉，但一些特殊角度如105°的三角函数值则需要通过公式推导或转换来计算。105°是一个介于90°和180°之间的角，属于第二象限，在该象限内，正弦为正，余弦和正切为负。
为了准确计算105°的三角函数值，可以将其表示为两个已知角度之和，例如：
105° = 60° + 45°
利用三角函数的加法公式，可以求出其正弦、余弦和正切值。
一、105°的三角函数值推导
1. 正弦（sin）
根据公式：
$$
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
$$
令 $a = 60^\circ$，$b = 45^\circ$，则：
$$
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ
$$
代入已知值：
$$
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
计算得：
$$
\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
2. 余弦（cos）
根据公式：
$$
\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
$$
$$
\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ
$$
代入数值：
$$
\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
$$
3. 正切（tan）
根据公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
$$
$$
\tan(105^\circ) = \tan(60^\circ + 45^\circ)
$$
$$
\tan 60^\circ = \sqrt{3}, \quad \tan 45^\circ = 1
$$
$$
\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
有理化分母：
$$
= \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}
$$
二、105°的三角函数值总结表
| 角度 | 正弦 (sin) | 余弦 (cos) | 正切 (tan) |
| 105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ | $-2 - \sqrt{3}$ |
三、小结
105°的三角函数值可以通过将它分解为60°和45°的和，利用三角函数的加法公式进行计算。这些值虽然不常见，但在解题过程中具有实际意义，尤其在涉及角度转换、几何分析及工程计算时非常有用。掌握这些值有助于提高对三角函数的理解与应用能力。
