【常见泰勒公式10个】泰勒公式是数学分析中的重要工具，用于将函数展开为无限级数的形式，便于近似计算和理论分析。在实际应用中，泰勒展开常用于求解极限、微分方程、数值计算等场景。以下总结了常见的10个泰勒公式，涵盖基本初等函数的展开形式。
一、泰勒公式概述
泰勒公式的一般形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $ R_n(x) $ 是余项，表示误差部分。若 $ a=0 $，则称为麦克劳林公式（Maclaurin series）。
二、常见泰勒公式表格
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（在 $ x=0 $ 处） | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 7 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 8 | $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 9 | $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 10 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots $ | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ |
三、说明与应用
以上公式均为在 $ x=0 $ 处的泰勒展开（即麦克劳林展开）。不同函数的展开方式各有特点，例如三角函数具有周期性，而指数函数和双曲函数则在实数范围内收敛。对于有理函数如 $ (1+x)^k $，其展开适用于 $
在实际应用中，可根据需要截断级数以获得近似值，尤其在工程计算、物理建模等领域非常常见。
通过掌握这些常见泰勒公式，可以更高效地处理复杂的函数分析问题，提升数学建模与计算能力。
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