【常用不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是求导运算的逆过程，掌握常用的不定积分公式对于解决数学问题具有重要意义。本文将总结一些常见的不定积分公式，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 被积函数 | 不定积分结果 | ||
| $ x^n $ (n ≠ -1) | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ (a > 0, a ≠ 1) | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数相关积分
| 被积函数 | 不定积分结果 | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{\cos(ax)}{a} + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{\sin(ax)}{a} + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数积分
| 被积函数 | 不定积分结果 |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arccos x + C $ |
四、有理函数积分
| 被积函数 | 不定积分结果 | ||
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
| $ \frac{1}{(ax + b)^n} $ (n ≠ 1) | $ \frac{(ax + b)^{1-n}}{a(1-n)} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x(x+a)} $ | $ \frac{1}{a} \ln\left | \frac{x}{x+a}\right | + C $ |
五、其他常见积分
| 被积函数 | 不定积分结果 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x-a}{x+a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
六、总结
以上是一些在微积分中经常用到的不定积分公式，涵盖了多项式、指数函数、三角函数、反三角函数以及有理函数等类型。掌握这些公式不仅有助于提高计算效率，还能加深对积分概念的理解。在实际应用中，结合积分技巧（如换元法、分部积分法等）可以解决更复杂的积分问题。建议在学习过程中多做练习，逐步熟悉各类函数的积分方法。
