【两个向量相乘计算公式】在向量运算中，两个向量的“相乘”并不是简单的数值相乘，而是根据不同的定义方式分为多种类型。常见的有两种：点积（内积）和叉积（外积）。下面将对这两种方式进行总结，并通过表格形式清晰展示它们的计算公式与特点。

一、点积（内积）

点积是两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个标量（即一个数值），常用于计算向量之间的夹角或投影关系。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

$$

特点：

- 结果是一个标量；

- 与向量的方向有关；

- 当两向量垂直时，点积为0；

- 可用于计算向量之间的夹角：

$$

\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a} \mathbf{b}}

$$

二、叉积（外积）

叉积是两个三维向量之间的一种乘法运算，其结果是一个新的向量，方向垂直于原两个向量所在的平面。

公式：

设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

或者写成：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

特点：

- 结果是一个向量；

- 方向由右手定则决定；

- 模长等于两个向量构成的平行四边形面积；

- 若两向量共线，则叉积为零向量。

三、总结对比表

四、小结

在向量运算中，“两个向量相乘”并不是统一的，需要根据具体应用场景选择合适的乘法方式。点积适用于求角度、投影等，而叉积则用于求垂直方向、面积等。理解它们的数学表达和物理意义，有助于更深入地掌握向量分析的相关知识。