在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，而余弦（cosine）作为其中的一种基本函数，常用于描述周期性现象或解决几何问题。今天我们就来探讨一个具体的数值问题：cos165°等于多少？
首先，我们需要明确165°位于哪个象限。根据角度的定义，165°是一个第二象限的角度，其范围是从90°到180°。在第二象限内，余弦值总是负数，因为此时的x坐标为负。
接下来，我们可以利用余弦的补角公式进行简化计算：
\[
\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)
\]
这里，令\(\theta=15^\circ\)，则有：
\[
\cos(165^\circ) = \cos(180^\circ - 15^\circ) = -\cos(15^\circ)
\]
那么，如何求解\(\cos(15^\circ)\)呢？可以借助半角公式或者两角和差公式。我们选择使用两角和差公式：
\[
\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ)
\]
根据两角差的余弦公式：
\[
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\]
代入具体角度：
\[
\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)
\]
已知特殊角的值：
\[
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
\]
代入后计算：
\[
\cos(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\]
因此，\(\cos(165^\circ) = -\cos(15^\circ)\)，即：
\[
\cos(165^\circ) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\]
总结来说，cos165°的值为\(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)，这是一个精确的结果。通过这种方法，我们可以清晰地推导出任何特殊角度的余弦值，从而更好地理解和应用三角函数知识。
