【常见的求导公式】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念。导数用于描述函数的变化率，是研究函数性质的重要工具。掌握常见的求导公式，对于解决数学问题、物理应用以及工程计算都有极大的帮助。以下是对一些常见函数的求导公式的总结。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数及其导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
$ y = (3x + 2)^5 $，则
$ \frac{dy}{dx} = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4 $
五、高阶导数简介
有些函数的导数可以通过多次求导得到，例如：
- $ f(x) = x^n $ 的第k阶导数为：
$$
f^{(k)}(x) = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)x^{n-k}
$$
- $ f(x) = e^x $ 的任何阶导数都是 $ e^x $
六、小结
导数是数学分析的基础内容之一，熟练掌握各类函数的导数公式，有助于快速求解相关问题。通过表格形式的整理，可以更清晰地理解不同函数的导数规律，并在实际应用中灵活运用。
建议在学习过程中结合实例进行练习，以加深对导数概念和公式的理解。
