【向量积公式怎么算】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量运算中的一种重要形式，广泛应用于物理、工程和数学领域。它主要用于计算两个向量之间的垂直方向的“面积”或“力矩”等物理量。本文将总结向量积的基本概念、计算方法及常见应用，并通过表格形式清晰展示其运算规则。
一、向量积的基本概念
向量积是两个三维向量之间的乘法运算，结果是一个新的向量，该向量与原来的两个向量都垂直。向量积的大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积，方向由右手定则决定。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的计算步骤
1. 确定两个向量的坐标分量
向量 a 和向量 b 分别表示为：
$$
\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
2. 使用行列式展开法进行计算
利用单位向量 i、j、k 构建一个三阶行列式，并按照行列式的规则展开。
3. 计算每个分量的值
- x 分量：$ a_2b_3 - a_3b_2 $
- y 分量：$ a_3b_1 - a_1b_3 $
- z 分量：$ a_1b_2 - a_2b_1 $
4. 组合得到结果向量
将三个分量合并成一个新的向量。
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 反交换律 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 零向量 | 若 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 模长关系 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 θ 是两向量夹角 |
四、向量积的计算示例
| 向量 a | 向量 b | 向量积 a × b |
| (1, 2, 3) | (4, 5, 6) | (-3, 6, -3) |
| (2, 0, 1) | (1, 3, 0) | (-3, 1, 6) |
| (0, 1, 0) | (1, 0, 0) | (0, 0, -1) |
五、向量积的应用场景
- 物理学：计算力矩、磁力、角动量等；
- 计算机图形学：用于判断物体朝向、计算法线方向；
- 工程力学：分析结构受力情况；
- 几何学：求解平面法向量、空间几何体的体积等。
六、总结
向量积是向量运算中的一个重要工具，能够帮助我们理解三维空间中向量之间的关系。掌握其计算方法和性质，有助于在多个学科领域中解决实际问题。通过表格形式可以更直观地比较不同向量的向量积结果，提高学习效率。
向量积公式怎么算？
答案是：利用行列式展开法计算三个分量，再组合成新的向量，即可得出结果。
